In[31]:=
Out[31]//MatrixForm=
In[32]:=
Out[32]//MatrixForm=
In[33]:=
Out[33]=
In[90]:=
Out[90]=
Часть II.
Асимптотика решения линейной системы дифференциальных уравнений с возмущённой матрицей коэффициентов.
Найдём асимптотику решения линейной системы дифференциальных уравнений с возмущённой матрицей используя операторный метод усреднения, изложенный части I (Операторный метод усреднения). Система имеет вид
Для простоты вычислений будем рассматривать систему из 2-х уравнений, матрицы A и B 2 ×2 симметричны и матрица A отрицательно определена. Найдём асимптотику решения при ε→0 с точностью до 
In[91]:=
Out[91]//MatrixForm=
Для простоты вычислений собственные значения – целые числа.
In[92]:=
Out[92]=
In[53]:=
Out[53]//MatrixForm=
Находим собственные векторы
In[93]:=
Out[93]=
Система собственных векторов ортонормирована.
In[94]:=
Out[94]=
Находим проэкторы на собственные подпространства:
In[95]:=
Out[95]=
Определим функцию, вычисляющюю коммутатор:
In[57]:=
Определяем нулевую матрицу 2×2
In[58]:=
Out[58]//MatrixForm=
Вычисляем матрицы 
и 
(k=0,1,2) по формулам, выведенным в части I (Операторный метод усреднения)
In[96]:=
Out[96]//MatrixForm=
Проверяем, выполняется ли уравнение (2.7) из части I
In[97]:=
Out[97]=
In[98]:=
Out[98]//MatrixForm=
Проверяем выполнение этого уравнения:
In[99]:=
Out[99]=
In[100]:=
Out[100]//MatrixForm=
Проверяем выполнение уравнения (2.7) из части I
In[101]:=
Out[101]=
In[102]:=
Out[102]//MatrixForm=
Проверяем выполнение написанного выше уравнения:
In[103]:=
Out[103]=
In[104]:=
Out[104]=
In[105]:=
Out[105]//MatrixForm=
Проверяем уравнение (2.7) из из части I/
In[106]:=
Out[106]=
In[107]:=
Out[107]//MatrixForm=
Проверяем выполнение написанного выше уравнения.
In[108]:=
Out[108]=
In[109]:=
Матрицы 
коммутируют между собой.
In[110]:=
Out[110]=
Матрицы 
антисимметричны:
In[111]:=
Out[111]=
Матрицы 
симметричны:
In[112]:=
Out[112]=
Матрицы 
ортогональны матрицам 
:
In[113]:=
Out[113]=
Матрицы 
принадлежат образу оператора коммутирования 
, поскольку их проэкция на ядро 
равна нулю:
In[114]:=
Out[114]=
In[78]:=
Out[78]=
Асимптотика (2.5) из части I
In[115]:=
Out[115]=
Определяем унитарное преобразование U(ε) из представления (1.1) части I
In[116]:=
Out[116]=
Асимптотика (2.6) из части I
In[117]:=
Out[117]=
Правая часть формулы (1.3) части I при 
In[118]:=
Out[118]=
Начальные условия Коши для системы дифференциальных уравнений (I).
In[161]:=
Асимптотическое решение системы (I) с точностью до 
In[162]:=
Out[162]=
Проверка выполнения начальных условий:
In[163]:=
Out[163]=
Проверка выполнения уравнений:
In[164]:=
Out[164]=
Как видим, асимптотика вычислена верно.
Полжим 
In[165]:=
Out[165]=
При ε→0 (t→∞) траектория системы стремится к нулю.
In[166]:=
Out[166]=
