Определения функций от матриц.
1. Пусть
[C] (целая аналитическая функция) и 
– квадратная n×n матрица над полем комплексных чисел. Тогда
2. Пусть выполнены условия п 1. Пусть C – замкнутый контур, охватывающий все собственные числа матрицы
A. Тогда
(Формула Коши).
3. Пусть f – непрерывна внутри контура C из п 2. Пусть все собственные числа 
матрицы A простые. (Имеют кратность 1. Другими словами имеется n различных собственных чисел). Рассмотрим полином степени n-1
Коэффициенты полинома находят из системы линейных уравнений
Тогда, по определению
4. Пусть f – любая измеримая функция. Матрица A – эрмитова. Относительно спектра матрицы A выполнены все условия п 3. Проэкторы на собственные подпространства определяются так. Если g– собственный вектор матрицы A
то проэктор на собственное подпространство, порождённое собственным вектором g есть такая матрица
}, что
Следствие (i) и (iv):
Следствие (iii) и (v):
По определению, полагаем
5. Пусть 
– диагональная матрица, содержащая собственные числа 
матрицы A на диагонали. Пусть также существует неособое преобразование S (невырожденная матрица) такое что
Тогда
Причём, очевидно,
. Это следует из того, что 
, k∈N и определения функции (1).
Эквивалентность определений.
Эквивалентность определения будет доказана в предположении п 1 о функции f и предположении п 3 и п 4 о матрице A.
1. Прежде всего докажем импликацию (5a) ⇒ (5 b). Это утверждение называется леммой о квазикоммутации.
Лемма. Пусть выполняется равенство
Тогда для любого допустимрго f
Доказательство.
Но
Здесь числа над операторами означают порядок их действия. Исползовалось также тождество связанное с разностной производной
При наличии леммы о квазикоммутации определение (5) следует из любого из 4 предыдущих определений.
2. Докажем, что (3)⇔(4). Пусть
интерполяционный многочлен, узлами интерполяции которого являются собственные числа 
, j=1,...,n матрицы A, 
– проэкторы на собственные подпространства. Тогда
3. Докажем (4) ⇔ (1).
4. Докажем (2) ⇔ (1). В качестве контура С из формулы (2) возьмём окружность достаточно большого радиуса так, что
Тогда резольвенту можно разложить в ряд
Используя формулу Коши
при z=0, получим
