Вычисление производных дробного порядка при помощи интерполяции.
1. Вычислим производные порядка 0, 1, 2, ..., 12 функции sin(x) в точках 0, 
,
, ..., 2 π
In[1]:=
In[3]:=
Out[3]=
Получили матрицу 25×13, k-ая строка которой содержит знаяения производных (от 0-го, до 12--го порядка в точке 
По каждой строке строим интерполяционный многочлен переменной n с узлами интерполяйии 0, 1, ..., 12.
Получаем список из 25 интерполяционных многочленов.
In[4]:=
Вычисляем значение каждого интерполяционного многочлена при дробном значении n
In[5]:=
In[6]:=
Out[6]=
Получили список значений n-ой производной в точках 
, k=1, 2,..., 25. Эти значения принимаем в качестве узлов интерполяции и строим интерполяционный многочлен.
In[7]:=
Out[7]=
Это и есть интерполяционный многочлен для n=5.76- кратной производной функции sin(x) на отрезке [0, 2π].
Этот пример чисто методического характера, поскольку
и производная дробного порядка определяется естественным образом. Нарисуем два графика совместно: полученный ранее интерполяционный полином и 
In[9]:=
Out[9]=
Два графика слились в один. Найдём норму разности в 
In[10]:=
Out[10]=
2. Действуя аналогичным образом, найдём 1/2 - кратную производную функции arctg(x). Отличие этого примера состоит в том, что здесь привлекаются первообразные (отрицательные n).
In[11]:=
In[12]:=
In[13]:=
Out[13]=
In[14]:=
In[15]:=
In[16]:=
Out[16]=
Полученный выше полином, является интерполяционным многочленом для 1/2 -кратной производной функции arctg(x) на отрезке [-4,4]
Этот многочлен вместе функциями 
и arctg(x) изображены ниже на одном графике.
In[17]:=
Out[17]=
